問題
6桁の自然数のうち，ちょうど2種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ．
【東北学院大学 2020】
解答
(A) 2種類の数字に0が含まれる場合
もう一つの数字の選び方が9通り．最高位の数は0以外の数となる．それ以外の桁数の選び方は$2^5$通りあるが，全ての桁が同じ数になる1通りを引くと$2^5-1$通り．よって，$9\cdot(2^5-1)$通り．
(B) 2種類の数字に0が含まれない場合
9つの数字から2つの数字を選ぶ選び方は$_9C_2$通りとなる．各桁の数の選び方は2通りずつとなるので，全ての桁で同じ数になる2通りを引くと$2^6-2$通り．よって，$_9C_2\cdot(2^6-2)$通り．
（A），（B）より
$9\cdot(2^5-1)+_9C_2\cdot(2^6-2)=9\cdot31+36\cdot62=2511$個
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