整数問題

問題

　2つの正の整数$a, b (a<b)$の積が$7007$,最小公倍数が$1001$であるとき，$a, b$のいずれも2桁である組は$((ア),(イ))$である．

解答

　$a, b$の最大公約数を$g$とすると，

$a=gA, b=gB $ ($A, B$は互いに素な自然数，$A<B$）

とおける．$ab=7007$より，

$g^2AB=7007 \cdots➀$

$a$と$b$の最小公倍数は$gAB$なので，

$gAB=1001 \cdots➁

　$➀÷➁$より，$g=7$ ∴$AB=143=11\cdot13$

　$a=7A, b=7B$が2桁なので，$A<B≦14$

　よって，$A=11, B=13$なので，(a, b)=(77, 91) (ア)(イ)