場合の数・確率

問題

　$1000$以下の自然数について，次の問いに答えよ．

(1)　4でも5でも7でも割り切れる数の個数を求めよ．

(2)　4または5または7で割り切れる数の個数を求めよ．

(3)　4では割り切れるが，5でも7でも割り切れない数の個数を求めよ．

【名城大学　2010】

解答

　1から1000までの自然数の集合を全体集合$U$とする．

　また，$U$の要素のうち，$k$で割り切れる数の集合を$A_k$で表す．

(1)　求める数の集合は

$A_4 \cap A_5 \cap A_7=A_{140}$

　$A_{140}=\{140\cdot1, 140\cdot2, \cdots, 140\cdot7\}$から，

$n(A_{140})=7$個

(2)　求める数の集合は

$A_4 \cup A_5 \cup A_7$

　$A_4=\{4\cdot1, 4\cdot2, \cdots, 4\cdot250\}$から

$n(A_4)=250$

　$A_5=\{5\cdot1, 5\cdot2, \cdots, 5\cdot200\}$から

$n(A_5)=200$

　$A_7=\{7\cdot1, 7\cdot2, \cdots, 7\cdot142\}$から

$n(A_7)=142$

　$A_4 \cup A_5=A_{20}=\{20\cdot1, 20\cdot2, \cdots, 20\cdot50\}$から

$n(A_4 \cup A_5)=50$

　$A_5 \cup A_7=A_{35}=\{35\cdot1, 35\cdot2, \cdots, 35\cdot28\}$から

$n(A_5 \cup A_7)=28$

　$A_7 \cup A_4=A_{28}=\{28\cdot1, 28\cdot2, \cdots, 28\cdot35\}$から

$n(A_7 \cup A_4)=35$

よって，

　$n(A_4 \cup A_5 \cup A_7)$

$=n(A_4)+n(A_5)+n(A_7)-n(A_4 \cup A_5)-n(A_5 \cup A_7)$

　　　　　　　　　$-n(A_7 \cup A_4)+n(A_4 \cap A_5 \cap A_7)$

$=250+200+142-50-28-35+7$

$=486$個

(3)　求める数の集合は

$A_4 \cap \overline{A_5} \cap \overline{A_7}$

すなわち

$A_4 \cap \overline{A_5 \cup A_7}$

　よって，

　$n(A_4 \cap \overline{A_5 \cup A_7})$

$=n(A_4)-n(A_4 \cap A_5)-n(A_4 \cap A_7)+n(A_4 \cap A_5 \cap A_7)$

$=250-50-35+7$

$=172$個