問題
数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$は次の条件を満たすとする．
$S_1=1$，$S_{n+1}-3S_n=2^{n+1}-1$ ($n=1, 2, 3, \cdots$)
(1) 数列$\{a_n\}$の満たす漸化式を求めよ．
(2) $b_n=\dfrac{a_n}{2^n}$とおくとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3) $a_{100}$を$4$で割った時の余りを求めよ．
【2011 琉球大学】
解答
(1) $a_1=S_1=1 \cdots➀$
$S_{n+1}-3S_n=2^{n+1}-1 \cdots➁$に$n=1$を代入すると
$S_2-3S_1=3$
ゆえに $(1+a_2)-3=3$ $a_2=5 \cdots➂$
また，$n≧2$のとき，➁から
$S_n-3S_{n-1}=2^n-1 \cdots④$
➁-④から
$(S_{n+1}-S_n)-3(S_n-S_{n-1})=2^{n+1}-2^n$
ゆえに
$a_{n+1}-3a_n=2\cdot2^n-2^n$
すなわち
$a_{n+1}-3a_n=2^n$
➀，➂より，この式は$n=1$のときも成り立つ．
よって，求める漸化式は
$a_{n+1}-3a_n=2^n$
(2) $a_{n+1}-3a_n=2^n$の両辺を$2^{n+1}$で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a_n}{2^n}=\dfrac{1}{2}$
よって，
$b_{n+1}-\dfrac{3}{2}b_n=\dfrac{1}{2}$
式を変形すると
$b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}(b_n+1)$
数列{$b_n+1$}は初項 $b_1+1=\dfrac{a_1}{2}+1=\dfrac{3}{2}$，公比$\dfrac{3}{2}$の等比数列であるから
$b_n+1=\dfrac{3}{2}\cdot(\dfrac{3}{2})^{n-1}$
したがって
$b_n=(\dfrac{3}{2})^n-1$
(3) (2)から $a_n=2^nb_n=2^n\{(\dfrac{3}{2})^n-1\}=3^n-2^n$
よって $a_{100}=3^{100}-2^{100}=3^{100}-4^{50}$
ゆえに，$a_{100}$を$4$で割った余りは$3^{100}$を4で割った余りに等しい．
ここで，二項定理により
$3^{100}=(4-1)^{100}$
$=4^{100}-{}_{100}\mathrm{C}_1\cdot4^{99}+ {}_{100}\mathrm{C}_2\cdot4^{98}-\cdots- {}_{100}\mathrm{C}_{99}\cdot4 +1 $
$=4(4^{99}- {}_{100}\mathrm{C}_1\cdot4^{98}+ {}_{100}\mathrm{C}_2\cdot4^{97}-\cdots- {}_{100}\mathrm{C}_{99})+1
したがって，$3^{100}$を$4$で割った余りは$1$である．
コメント