問題
(1) さいころを$n$回投げたとき，出た目の数がすべて1になる確率を求めよ．
(2) さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が1と2の2種類になる確率を求めよ．
(3) さいころを$n$回投げたとき，出た目の数が3種類になる確率を求めよ．
【神戸大学 2007】
解答
(1) 1回投げたとき，出た目の数が1になる確率は$\dfrac{1}{6}$
よって，求める確率は$(\dfrac{1}{6})^n$
(2) 出た目の数が$n$回とも１または2である確率は$(\dfrac{2}{6})^n= (\dfrac{1}{3})^n$
出た目の数が$n$回とも1である確率は$(\dfrac{1}{6})^n$
出た目の数が$n$回とも2である確率は$(\dfrac{1}{6})^n$
よって，求める確率は
$(\dfrac{1}{3})^n-2(\dfrac{1}{6})^n$
(3) 出る目の3種類の数の選び方は$ {}_6\mathrm{C}_3 =20$通り
この三種類の出目をA，B，Cとする．$n$回投げた時，
出た目の数がAまたはBまたはCである確率は
$(\dfrac{3}{6})^n= (\dfrac{1}{2})^n$
出た目の数がAとBの2種類である確率は(2)より，
$(\dfrac{1}{3})^n-2(\dfrac{1}{6})^n$
出た目の数がBとCの2種類，CとAの2種類である確率もAとBの2種類である確率は同様であるので，それぞれ
$(\dfrac{1}{3})^n-2(\dfrac{1}{6})^n$
出た目の数がAのみ，Bのみ，Cのみである確率はそれぞれ
$(\dfrac{1}{6})^n$
したがって，求める確率は
$20[(\dfrac{1}{2})^n -3\{(\dfrac{1}{3})^n-2(\dfrac{1}{6})^n\}-3(\dfrac{1}{6})^n]=20\{(\dfrac{1}{2})^n-3(\dfrac{1}{3})^n+3(\dfrac{1}{6})^n\}$
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