条件付き確率

問題

　出る目の確率が次のようさいころが1つある．

・1，3の目が出る確率はそれぞれ　$\dfrac{1}{12}$

・5の目が出る確率は　$\dfrac{1}{3}$

・2，4，6の目が出る確率はそれぞれ　$\dfrac{1}{6}$

　そこで，さいころを1回振り，出た目を$A$とし，$A$を3で割った余りを$X$とする．次にもう1回さいころを振り，出た目を$B$とし，$A+B$を3で割った余りを$Y$とする．

(1)　事象$X=Y=0$が起こる確率を求めよ．

(2)　事象$X+Y=3$が起こる確率を求めよ．

(3)　事象$X+Y=3$が起こったという条件のもとでの，$X=1，Y=2$である条件付き確率を求めよ．

【宮崎大学　2005】

解答

(1)　$X=Y=0$となるのは，$A，B$がともに3で割り切れるときである．すなわち，

$(A, B)=(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)$

　のときであるから

$P(X=Y=0)=\dfrac{1}{12}×\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}×\dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}× \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{16}$

(2)　$X+Y=3$となるのは，[1]$X=1, Y=2$または[2]$X=2，Y=1$のときである．

　　[1]$X=1，Y=2$のとき

　　　$(A, B)=(1, 1)，(1, 4)，(4, 1)，(4, 4)$のときであるから

　　　$P(X=1，Y=2)= \dfrac{1}{12}×\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}×\dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6}×\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}× \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{16}$

　　[2]$X=2，Y=1$のとき

　　　$(A, B)=(2, 2), (2, 5), (5, 2), (5, 5)$のときであるから

　　　$P(X=2, Y=1)=\dfrac{1}{6}× \dfrac{1}{6}+ \dfrac{1}{6}× \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3}× \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}× \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{4}$

　[1]，[2]から，$X+Y=3$となるのは　$\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{16}$

(3)　$X+Y=3$となる事象を$E$，$X=1, Y=2$となる事象を$F$とする．

　(2)から　

$P(E)=\dfrac{5}{16}$，$P(E\cup F)=P(F)=\dfrac{1}{16}$

　よって，求める条件付き確率は

$P_E(F)=\dfrac{P(E\cup F)}{P(E)}=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{\dfrac{5}{16}}=\dfrac{1}{5}$

余談

　2006～2014年入試が旧課程となっておりますが，2005以前も旧々課程となっており複素数平面が数学Bにあったりしました（2015年入試より数学IIIで復活）．今回の問題はその名残がある条件付き確率確率の問題（2005年）となっております。