区分求積法　問題

区分求積法　攻略

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区分求積法　簡単積分化

区分求積法の公式は・・➀$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(\displaystyle\fra...

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2021.06.21

問題

　極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+k}}$を求めよ．

【青山学院大学　2020】

解答

　　　　$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+k}}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{k}{n}}}$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int_{0}^{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int_{0}^{1}(1+x)^{-\frac{1}{2}}dx$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=[2(1+x)^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1}$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=2\sqrt2-2$