区分求積法　積分区間に注意！

問題

　極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}$を求めよ．

【中部大学　2020】

解答

　　　　　$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{k}{n}}$

　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{1}{1+x}dx$

　　　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{1}{2}[\log (1+x)]_{0}^{3}$

　　　　　　　　　　　　　　　$=\log 2$