区分求積法 積分区間に注意!

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問題

 極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}$を求めよ.

【中部大学 2020】

解答

     $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{k}{n}}$

               $=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{1}{1+x}dx$

               $=\displaystyle\frac{1}{2}[\log (1+x)]_{0}^{3}$

               $=\log 2$

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