問題
極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}$を求めよ.
【中部大学 2020】
解答
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{2(n+k)}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{3n}\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{k}{n}}$
$=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{3}\displaystyle\frac{1}{1+x}dx$
$=\displaystyle\frac{1}{2}[\log (1+x)]_{0}^{3}$
$=\log 2$
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