整式の割り算

問題

　$x^{100}$を$x^2+x+1$で割った時の余りはいくつか．

【関西大学　2010】

解答

　$x^{100}$を$x^2+x+1$で割った時の商を$P(x)$，余りを$ax+b$（$a$，$b$は実数）とすると

$x^{100}=(x^2+x+1)P(x)+ax+b　\cdots➀$

　$x^2+x+1=0$の解の1つを$\omega$とすると，$\omega$は虚数で

$\omega^2+\omega+1=0$

　よって，$\omega^3-1=(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$であるから，$\omega^3=1$

　➀に$x=\omega$を代入すると

$\omega^{100}=a\omega+b$

　$\omega^{100}=(\omega^3)^33\cdot\omega=\omega$であるから，

$\omega=a\omega+b$

　よって，$(1-a)\omega=b$

　ここで，$1-a$，$b$は実数で$\omega$は虚数であるから，

$ 1-a = 0 $、$ b = 0 $

　よって，$a=1$，$b=0$

　ゆえに余りは$x$