極限計算　小問対策

問題

　$\displaystyle\lim_{x \to 3}\displaystyle\frac{a\sqrt{x+13}-b}{x-3}=\displaystyle\frac{1}{4}$が成り立つような実数$a$，$b$を求めよ．

【藤田医科大学　2020】

解答

　$x→3$かつ$(分子)=0$のとき，$(分母)→0$となり，$(左辺)$は$±\infty$に発散するため値が収束しない．よって，$x→3$のとき$(分子)→0$となる必要がある．

$a\sqrt{3+13}-b=0$

$∴ b=4a$

　このとき，

　　　　　$\displaystyle\frac{a\sqrt{x+13}-b}{x-3}=a\displaystyle\frac{(\sqrt{x+13}-4)(\sqrt{x+13}+4)}{(x-3)(\sqrt{x+13}+4)}$

　　　　　　　　　　　　　$=a\displaystyle\frac{(\sqrt{x+13})^2-4^2}{(x-3)(\sqrt{x+13}+4)}$

　　　　　　　　　　　　　$=a\displaystyle\frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+13}+4)}$

　　　　　　　　　　　　　$=a\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+13}+4}$

　よって，

$\displaystyle\lim_{x \to 3}\displaystyle\frac{a\sqrt{x+13}-b}{x-3}=a\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3+13}+4}=\displaystyle\frac{a}{8}$

　これが$\displaystyle\frac{1}{4}$に収束するので，

$\displaystyle\frac{a}{8}=\displaystyle\frac{1}{4}$

$a=2$，$b=8$ （答)