2曲線で囲まれた図形の面積【微分・積分】

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問題

 2曲線$y=x^2-5x+9$と$y=-x^2+3x+3$で囲まれた図形の面積$S$の値は$S=\boxed{   }$である.

【大阪工業大 2020】

解説

 $y=x^2-5x+9 \cdots➀$

 $y=-x^2+3x+3 \cdots➁$

 の2曲線について交点を求める.

$(-x^2+3x+3)-(x^2-5x+9)=0$

$-2(x^2-4x+3)=0$

$-2(x-1)(x-3)=0$

$x=1,3$

よって,求める面積$S$は,

   $S=\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+3x+3)-(x^2-5x+9)dx$

    $=\displaystyle\int_{1}^{3}\{-2(x-1)(x-3)\}dx$

    $=-2\displaystyle\int_{1}^{3}(x-1)(x-3)dx$

    $=2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot(3-1)^3$

    $=\dfrac{8}{3}$

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