2曲線で囲まれた図形の面積【微分・積分】

問題

　2曲線$y=x^2-5x+9$と$y=-x^2+3x+3$で囲まれた図形の面積$S$の値は$S=\boxed{　　　}$である．

【大阪工業大　2020】

解説

　$y=x^2-5x+9 \cdots➀$

　$y=-x^2+3x+3 \cdots➁$

　の2曲線について交点を求める．

$(-x^2+3x+3)-(x^2-5x+9)=0$

$-2(x^2-4x+3)=0$

$-2(x-1)(x-3)=0$

$x=1,3$

よって，求める面積$S$は，

　　　$S=\displaystyle\int_{1}^{3}(-x^2+3x+3)-(x^2-5x+9)dx$

　　　　$=\displaystyle\int_{1}^{3}\{-2(x-1)(x-3)\}dx$

　　　　$=-2\displaystyle\int_{1}^{3}(x-1)(x-3)dx$

　　　　$=2\cdot\dfrac{1}{6}\cdot(3-1)^3$

　　　　$=\dfrac{8}{3}$