積分方程式

問題

　$f(x)=\cos x+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\{f(t)-2\sin x\}dt$のとき，$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$の値を求めよ．

【中部大学　2020】

解答

　$a=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt \cdots➀$とおくと，

$f(x)=\cos x-\pi\sin x+a$

　これを➀に代入して．

　　　　　　$a=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos t-\pi\sin x+a)dt$

　　　　　　　$=\displaystyle[\sin t+\pi\cos t+at\displaystyle]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

　　　　　　　$=1+\displaystyle\frac{\pi}{2}a-\pi$

　よって，

$(\displaystyle\frac{\pi}{2}-1)a=\pi-1$

$a=\displaystyle\frac{2\pi-2}{\pi-2}$