積分方程式2-1

問題

　次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　$f(x)=e^x+3\displaystyle\int_{0}^{1}tf(t)dt$を満たす関数$f(x)$を求めよ．

(2)は次の更新で！

解答

(1)　$f(x)=e^x+3\displaystyle\int_{0}^{1}tf(t)dt \cdots ➀$

　ここで，

$A=\displaystyle\int_{0}^{1}tf(t)dt　\cdots　➁$

とおくと，➀は，

$f(x)=e^x+3A　\cdots　➂$

となる．このとき，

　　　　　　　$\displaystyle\int_{0}^{1}tf(t)dt=\displaystyle\int_{0}^{1}(te^t+3At)dt$

　　　　　　　　　　　　　$=[(te^t-e^t)+\displaystyle\frac{3}{2}At^2]_{0}^{1}$

　　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{3}{2}A+1$

となる．➁より，

$A=\displaystyle\frac{3}{2}A+1$

$A=-2$

　よって，➂より，

$f(x)=e^x-6$