三角比　式の値

問題

　$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$のとき，$\sin\theta\cos\theta$，$\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}$，$\tan^3\theta+\dfrac{1}{\tan^3\theta}$の値を求めよ．

【東京薬科大学　2006】

解答

　 $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$の両辺を2乗すると

$\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\dfrac{1}{5}$

　$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$より

$1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{5}$

　$\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{2}{5}$

　また

　　　　　$\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}+\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$

　　　　　　　　　　　　 $=\dfrac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

　　　　　　　　　　　　 $=\dfrac{1}{\sin\theta\cos\theta}$

　　　　　　　　　　　　 $=-\dfrac{5}{2}$

　さらに

　　　　　$\tan^3\theta+\dfrac{1}{\tan^3\theta}=(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta})^3-3(\tan\theta+\dfrac{1}{\tan\theta})$

　　　　　　　　　　　　　 $=(-\dfrac{5}{2})^3-3(-\dfrac{5}{2})$

　　　　　　　　　　　　　 $=-\dfrac{65}{8}$