絶対値を含む方程式と解の個数

問題

　方程式$\vert x^2-9\vert =3x+k$が異なる4つの実数解をもつとき，定数$k$のとり得る値の範囲は$\boxed{　　　}<k< \boxed{　　　} $である．

【関西大学　2014】

解答

　方程式を変形すると

$\vert x^2-9\vert -3x=k$

　この方程式の解の個数は，$y= \vert x^2-9\vert -3x$と直線$y=k$の交点の個数に等しい．

　関数 $y= \vert x^2-9\vert -3x$ に関して

　$x≦-3, 3≦x$のとき，

$y=x^2-3x-9=(x-\dfrac{3}{2})^2-\dfrac{45}{4}$

　$-3<x<3$のとき，

$y=-x^2-3x+9=-(x+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{45}{4}$

　したがって，関数 $y= \vert x^2-9\vert -3x$ のグラフは以下となる．

　 方程式$\vert x^2-9\vert =3x+k$が異なる4つの実数解をもつのは，上記グラフの交点が4つになるときであるので，求める$k$の値の範囲は

$9<k<\dfrac{45}{4}$