対数微分

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問題

(1) $x>0$において,関数$f(x)=(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x}$を微分せよ.

【大阪府立大学 2020 一部抜粋】

解答

(1) $f(x)=(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x}$の両辺の自然対数を考えると,

 $\log f(x)=(\log x)\cdot(\log\displaystyle\frac{1}{x})=-(\log x)^2$

 この両辺を$x$で微分すると,

$\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=-2\log x\cdot\displaystyle\frac{1}{x}=-\displaystyle\frac{2\log x}{x}$

       $∴f'(x)=-\displaystyle\frac{2\log x}{x}f(x)$

           $=-2(\log x)(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x+1}$

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