対数微分

問題

(1)　$x>0$において，関数$f(x)=(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x}$を微分せよ．

【大阪府立大学　2020 一部抜粋】

解答

(1)　$f(x)=(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x}$の両辺の自然対数を考えると，

　$\log f(x)=(\log x)\cdot(\log\displaystyle\frac{1}{x})=-(\log x)^2$

　この両辺を$x$で微分すると，

$\displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=-2\log x\cdot\displaystyle\frac{1}{x}=-\displaystyle\frac{2\log x}{x}$

　　　　　　　$∴f'(x)=-\displaystyle\frac{2\log x}{x}f(x)$

　　　　　　　　　　　$=-2(\log x)(\displaystyle\frac{1}{x})^{\log x+1}$