問題
$a$,$b$は$a<b$を満たす定数とする.座標平面において,2次関数$y=ax^2+b$のグラフが点$(1, 10)$を通り,直線$y=-8x$と点$(c, d)$で接するとき,$b$,$d$の値を求めよ.
【近畿大学 2013】
解答
$y=ax^2+b \cdots➀$
$y=-8x \cdots➁$
➀のグラフは点$(1, 10)$を通るので,
$a+b=10$
また,➀のグラフが直線➁に接するための条件は,2次方程式
$ax^2+b=-8x$
$ax^2+8x+b=0 \cdots➂$
➂が重解を持つことである.
この2次方程式の判別式を$D$とすると,
$\dfrac{D}{4}=4^2-ab=0$
$ab=16$
よって,$a$,$b$は2次方程式$t^2-10t+16=0$の解である.
この方程式を解くと,$(t-2)(t-8)=0$
よって,$t=2, 8$
$a<b$であるから,$a=2, b=8$
このとき,接点の$x$座標$c$は,➂の重解で,$c=-\dfrac{8}{2\cdot2}=-2$
接点の$y$座標$d$は,➁より $d=-8\cdot(-2)=16$
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