2次関数の係数決定 近畿大学

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問題

 $a$,$b$は$a<b$を満たす定数とする.座標平面において,2次関数$y=ax^2+b$のグラフが点$(1, 10)$を通り,直線$y=-8x$と点$(c, d)$で接するとき,$b$,$d$の値を求めよ.

【近畿大学 2013】

解答

$y=ax^2+b \cdots➀$

$y=-8x \cdots➁$

 ➀のグラフは点$(1, 10)$を通るので,

$a+b=10$

 また,➀のグラフが直線➁に接するための条件は,2次方程式

$ax^2+b=-8x$

$ax^2+8x+b=0 \cdots➂$

 ➂が重解を持つことである.

 この2次方程式の判別式を$D$とすると,

$\dfrac{D}{4}=4^2-ab=0$

$ab=16$

 よって,$a$,$b$は2次方程式$t^2-10t+16=0$の解である.

 この方程式を解くと,$(t-2)(t-8)=0$

 よって,$t=2, 8$

 $a<b$であるから,$a=2, b=8$

 このとき,接点の$x$座標$c$は,➂の重解で,$c=-\dfrac{8}{2\cdot2}=-2$

接点の$y$座標$d$は,➁より $d=-8\cdot(-2)=16$

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