2次関数の係数決定　近畿大学

問題

　$a$，$b$は$a<b$を満たす定数とする．座標平面において，2次関数$y=ax^2+b$のグラフが点$(1, 10)$を通り，直線$y=-8x$と点$(c, d)$で接するとき，$b$，$d$の値を求めよ．

【近畿大学　2013】

解答

$y=ax^2+b　\cdots➀$

$y=-8x　\cdots➁$

　➀のグラフは点$(1, 10)$を通るので，

$a+b=10$

　また，➀のグラフが直線➁に接するための条件は，2次方程式

$ax^2+b=-8x$

$ax^2+8x+b=0　\cdots➂$

　➂が重解を持つことである．

　この2次方程式の判別式を$D$とすると，

$\dfrac{D}{4}=4^2-ab=0$

$ab=16$

　よって，$a$，$b$は2次方程式$t^2-10t+16=0$の解である．

　この方程式を解くと，$(t-2)(t-8)=0$

　よって，$t=2, 8$

　$a<b$であるから，$a=2, b=8$

　このとき，接点の$x$座標$c$は，➂の重解で，$c=-\dfrac{8}{2\cdot2}=-2$

接点の$y$座標$d$は，➁より　$d=-8\cdot(-2)=16$