極限　入試必須レベル計算・定期テストやや難しめ【福島大学　2020】

極限分野とは

　数学IIIの分野のうちの1つである．微分や積分と一緒に出題されることが多い．

（例）グラフの極限値，不等式の証明→不等式を利用したはさみうちの定理 等

　また，忘れたころに出てくる$e$の定義は押さえておきたいところである．

問題

　$a$, $b$を定数，$n$を自然数とする．関数$g(x)=\displaystyle\frac{2x^{2n}+x^{2n-1}+ax^2+bx+4}{x^{2n}+1}$について，関数$f(x)$を$f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}g(x)$で定めるとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$\vert x \vert<1$のとき，関数$f(x)$を求めなさい．

(2)　$\vert x \vert>1$のとき，関数$f(x)$を求めなさい．

(3)　関数$f(x)$が区間$(-\infty, \infty)$のすべての$x$の値で連続となるように，定数$a, b$の値を定めなさい．

(4)　定数$a, b$が(3)で定めた値であるとき，関数$f(x)$の最大値および最小値を求めなさい．

【福島大学　2020】

問題　注意点

　関数の連続性について調べる問題である．$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x^{2n}=0$など$n$が絡むものが$0$に収束するということを利用する．しかし，誤って$n$が関係しない$ax^2$等を$0$に収束させてしまう人がいるので気をつけよう．

解答

(1)　$\vert x \vert<1$のとき，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x^{2n}=0$となる．また，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x^{2n-1}=0$であるので，

　$f(x)=\displaystyle\frac{0+0+ax^2+bx+4}{0+1}=ax^2+bx+4\cdots➀$

（2）$\vert x \vert>1$のとき，

　$g(x)==\displaystyle\frac{2+\displaystyle\frac{1}{x}+(ax^2+bx+4)\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}{1+\displaystyle\frac{1}{x^{2n}}}$

　であり，$\displaystyle\lim_{n \to \infty}x^{2n}=0$であるから，

$f(x)=\displaystyle\frac{2+\displaystyle\frac{1}{x}+0}{1+0}=2+\displaystyle\frac{1}{x}\cdots➁$

（3）　$g(-1)=\displaystyle\frac{a-b+5}{2}$,$g(1)=\displaystyle\frac{a+b+7}{2}$より，

$f(-1)=\displaystyle\frac{a-b+5}{2}\cdots➂$

$f(1)=\displaystyle\frac{a+b+7}{2}\cdots④$

　➀，➁より，$f(x)$は$x=±1$において連続である．よって，$a$，$b$の満たすべき条件は$f(x)$が$x=±1$において連続となること．つまり，

$\displaystyle\lim_{x \to -1-0}f(x)=f(-1)=\displaystyle\lim_{x \to -1+0}f(x)\cdots➄$

$\displaystyle\lim_{x \to 1-0}f(x)=f(1)=\displaystyle\lim_{x \to 1+0}f(x)\cdots➅$

のどちらも満たす必要がある．

　➀，➁，➂，④より，➄は，

$1=\displaystyle\frac{a-b+5}{2}=a-b+4$

　よって，

$a-b+3=0\cdots➄’$

となる．

　同様に，➅は

$a+b+4=\displaystyle\frac{a+b+7}{2}=3$

　よって，

$a+b+1=0\cdots➅’$

となる．➄’，➅’より，$a$，$b$は

$a=-2$，$b=1$

(4)　(3)のとき，

　　$\vert x \vert>1$において，

$f(x)=2+\displaystyle\frac{1}{x}$

　$\displaystyle\frac{1}{\vert x \vert}<1$より，

　$1<f(x)<3$

　　$\vert x \vert≦1$において，

$f(x)=-2x-2+x+4=-2(x-\displaystyle\frac{1}{4})^2+\displaystyle\frac{33}{8}$

であるから，

求める最大値は$f(\displaystyle\frac{1}{4})=\displaystyle\frac{33}{8}$,最小値は$f(-1)=1$