またまた区分求積法

問題

　極限値$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(e^\frac{1}{n}+2e^\frac{2}{n}+3e^\frac{3}{n}+\cdots+ne^\frac{n}{n})$を求めよ．

【岩手大学　2012】

解答

　　　　　　　　　$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}(e^\frac{1}{n}+2e^\frac{2}{n}+3e^\frac{3}{n}+\cdots+ne^\frac{n}{n})$

　　　　　　　　$=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}(\displaystyle\frac{1}{n}e^\frac{1}{n}+\displaystyle\frac{2}{n}e^\frac{2}{n}+\displaystyle\frac{3}{n}e^\frac{3}{n}+\cdots+\displaystyle\frac{n}{n}e^\frac{n}{n})$

　　　　　　　　$=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{k}{n}e^{\frac{k}{n}}$

　　　　　　　　$=\displaystyle\int_{0}^{1}xe^xdx$

　　　　　　　　$=[xe^x]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{0}^{1}e^xdx$

　　　　　　　　$=e-[e^x]_{0}^{1}$

　　　　　　　　$=e-(e-1)$

　　　　　　　　$=1$