円の方程式とは
円の方程式の表し方は2通りある．
➀ $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ （中心$(a, b)$，半径$r$の円）
➁ $x^2+y^2+lx+my+n=0$
これらの使い分けのポイントは➀を見てわかるように，中心あるいは半径の情報が問題文から読み取れる場合は➀、それ以外は➁を用いることが問題を楽に解けるようになるコツである．（ただし、円が$x, y$軸に接する場合は半径の情報が読み取れるので➀を用いるなど、直接的に半径、中心の情報がわからない場合も➀を用いる場合がある）
問題
3点A$(1, 0)$，B$(5, 8)$，C$(2, 7)$を通る円の半径を求めよ．
【山形大学 2020】
解答
円の方程式を$x^2+y^2+lx+my+n=0$とする．3点A，B，Cを通るので，
$1+l+n=0 \cdots➀$
$89+5l+8m+n=0 \cdots➁$
$53+2l+7m+n=0 \cdots➂$
$➁-➀$より
$88+4l+8m=0$
$22+l+2m=0 \cdots④$
$➁-➂$より
$36+3l+m=0 \cdots➄$
$➄×2-④$より
$50+5l=0$
$l=-10$
➄，➀より
$m=-6, n=9$
よって，円の方程式は
$x^2+y^2-10x-6y+9=0$
$∴(x-5)^2+(y-3)^2=5^2$
円の半径は$5$となる．
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