約数の問題　小問対策

導入

　本日より、数日間にわたって整数の問題を取り扱っていこうと思います．証明問題が出るのは主に旧帝大が多いので扱わない予定です．主に小問対策として取り組んでおくべき問題を取り扱います．来年の入試は2022．2022の約数って扱いにくいですね・・・笑　（$2022=2\cdot3\cdot337$)

問題

　$2020$の約数のうち，$3$桁の素数は$1$個だけで，それは$(ア)$である．2020の正の約数は$(イ)$個あり，それらの和は$(ウ)$である．また，3桁の約数は$(エ)$個ある．

【関西学院大学　2020】

解答

(ア)　$2020=2^2\cdot5\cdot101$

(イ)　2020の正の約数は，$2^a\cdot5^b\cdot101^c$の形である．$a$は$0,1,2$の3通り，$b$は$0, 1$の2通り，$c$は$0, 1$の2通りである．よって，

3×2×2= 12 (個) (答)

(ウ)　$(1+2+2^2)(1+5)(1+101)=7×6×102=4284 （個）$　（答）

(エ)　3桁の約数は101を素因数にもつ必要があるので，$101, 2\cdot101, 2^2\cdot101, 5\cdot101$の4個となる．

解説

(ウ)　これは場合の数でも出る問題です．約数の和ということで，$2^a\cdot5^b\cdot101^c$の中で考える．例えば$a=1$のときに他の約数は，$5^0\cdot101^0$，$5^1\cdot101^0$，$5^0\cdot101^1$，$5^1\cdot101^1$となる．

　$a=1$の時の約数の和は$2^1\cdot(5^0+5^1)(101^0+101^1)$となる．これが$a=0, 2$のときも同様となるので，$(2^0+2^1+2^2)(5^0+5^1)(101^0+101^1)$となる

(エ)　$2\cdot5=20$であるので，約数$2$と$5$のみで3桁の整数を作ることができない．よって，2020の約数で3桁の整数を作るためには，約数$101$が含まれる必要がある．