2円の方程式

問題

　$m>0$とする．$xy$平面上の2つの円

$C_1：x^2+y^2=4, C_2：x^2+y^2-6x-8y+25-m=0$

を考える．

(1)　円$C_2$の中心の座標を求めよ．

(2)　円$C_1$と円$C_2$が異なる2点で交わるときの$m$の値の範囲を求めよ．

(3)　円$C_1$と円$C_2$が異なる2点で交わるとし，その2点を通る直線を$l$とする．$l$が原点を通るときの$m$の値を求めよ．

(4)　円$C_1$の接線が(3)の直線$l$と直交するとき，その接線の方程式を求めよ．

【岐阜大学　2020】

解答

(1)　$C_2$は$(x-3)^2+(y-4)^2=m　(m>0) $と表せるので，中心の座標はA$(3, 4)$，半径は$\sqrt{m}$

(2)　$C_1$の中心は原点O，半径は2

　　$C_1$と$C_2$が異なる2点で交わるための条件は

$|2円の半径の差|<OA<(2円の半径の和)

$|2-\sqrt{m}|<5<2+\sqrt{m}$

$-5<2-\sqrt{m}<5$かつ$3<\sqrt{m}$

$3<\sqrt{m}<7$

$∴9<m<49$

(3)　$9<m<49$のとき，実数$k$に対して，

$x^2+y^2-4+k(x^2+y^2-6x-8y+25-m)=0$

は$C_1$と$C_2$の異なる2つの共有点P，Qを通る円または直線を表す．$k=-1$のとき，$6x+8y-29+m=0$となるが，これはP，Qを通る直線であるから，これが$l$の方程式，$l$が原点を通るとき，

$m=29$

(4)　$l:3x+4y=0$である．$l$に直行する直線は$n:4x-3y+c=0$（$c$は実数）と表せる．

　$n$が$C_1$に接するための条件は

（$n$とOの距離)$=$($C_1$の半径)

$\displaystyle\frac{|c|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2

$∴c=±10$