整数問題

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問題

 式$15a-a^2=3b$を満たす正の整数の組$(a, b)$は何組あるか.

【成蹊大学 2020】

解答

 与式を変形すると,$a(15-a)=3b \cdots➀$ となる.

 ➀において,$b$は正の整数であるので,$a(15-a)>0$ となる.

 $∴ 0<a<15 \cdots➁$

 ここで,➀の右辺は3の倍数であるので,左辺も3の倍数となる.よって,$a$または$15-a$のどちらかが3の倍数である.$15-a$が3の倍数のとき,$a$も3の倍数となる.このとき,$b$は必ず整数となる.➀により,$(a, b)$の組の数と$a$の個数は同じで,➁を満たす3の倍数は4個となる.

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