問題
式$15a-a^2=3b$を満たす正の整数の組$(a, b)$は何組あるか.
【成蹊大学 2020】
解答
与式を変形すると,$a(15-a)=3b \cdots➀$ となる.
➀において,$b$は正の整数であるので,$a(15-a)>0$ となる.
$∴ 0<a<15 \cdots➁$
ここで,➀の右辺は3の倍数であるので,左辺も3の倍数となる.よって,$a$または$15-a$のどちらかが3の倍数である.$15-a$が3の倍数のとき,$a$も3の倍数となる.このとき,$b$は必ず整数となる.➀により,$(a, b)$の組の数と$a$の個数は同じで,➁を満たす3の倍数は4個となる.
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