整数問題

問題

　式$15a-a^2=3b$を満たす正の整数の組$(a, b)$は何組あるか．

【成蹊大学　2020】

解答

　与式を変形すると，$a(15-a)=3b \cdots➀$　となる．

　➀において，$b$は正の整数であるので，$a(15-a)>0$　となる．

　$∴ 0<a<15 \cdots➁$

　ここで，➀の右辺は3の倍数であるので，左辺も3の倍数となる．よって，$a$または$15-a$のどちらかが3の倍数である．$15-a$が3の倍数のとき，$a$も3の倍数となる．このとき，$b$は必ず整数となる．➀により，$(a, b)$の組の数と$a$の個数は同じで，➁を満たす3の倍数は4個となる．