整数問題

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問題

 式15aa2=3bを満たす正の整数の組(a,b)は何組あるか.

【成蹊大学 2020】

解答

 与式を変形すると,a(15a)=3b となる.

 ➀において,bは正の整数であるので,a(15a)>0 となる.

 0<a<15

 ここで,➀の右辺は3の倍数であるので,左辺も3の倍数となる.よって,aまたは15aのどちらかが3の倍数である.15aが3の倍数のとき,aも3の倍数となる.このとき,bは必ず整数となる.➀により,(a,b)の組の数とaの個数は同じで,➁を満たす3の倍数は4個となる.

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