直線が2つの曲線に接するとき

概要

　接するとき、というのはある関数の接線となることです。接するということは、

➀ 座標が一致する

➁ 接線の傾き($f'(x)$)が等しい

という2点を考えれば解くことができる．

問題

　ある直線が2つの曲線$y=ax^2$と$y=\log x$に同じ点で接するとき，$a$の値を求めよ．

【東京電機大学　2020】

解答

$y=ax^2 \cdots➀$

$y=\log x \cdots➁$

　接点Pの$x$座標を$t$とおくと，Pは➀上にも2乗にも存在ことより$y$座標が一致する。

$at^2=\log t \cdots➂$

　また，➀のとき$y’=2ax$，➁のとき$y’=\displaystyle\frac{1}{x}$で，Pにおける➀と➁の接線の傾きが等しいことから，

$2at=\displaystyle\frac{1}{t}$

$at^2=\displaystyle\frac{1}{2} \cdots④$

　④を➂に代入して，

$\log t=\displaystyle\frac{1}{2}$

$t=e^{\displaystyle\frac{1}{2}}$

　これと④より，

$a=\displaystyle\frac{1}{2t^2}=\displaystyle\frac{1}{2e}%