数学Ⅲ　微分・積分　【2007年中央大学】

変曲点を持つ条件・積の微分と商の微分のコラボ

関数$ f(x)=\displaystyle\frac{(\log x)^2}{x}$ $(x>0) $において，$y=f(x)$のグラフを$C$とする。

(1)　関数$f(x)$の増減を調べ，曲線$C$の概形をかけ。ただし、$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac{(\log x)^2}{x}=0$ である。

(2)　$C$は2つの変曲点をもつことを示せ。また，その変曲点の$x$座標を$\alpha$，$\beta$ $(0<\alpha<\beta)$とするとき，$\log\alpha$，$\log\beta$の値を求めよ。

(3)　$C$と直線 $x=\alpha$，$x=\beta$ および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【2007年　中央大学】

～狙い・簡単な概要～

(1)☞グラフの描き方の実践。また、変曲点・グラフの凹凸に関する記述がないため、二回微分の必要はなし

(2)☞極値をもつかどうかを問う問題は数多くあるが、変曲点に関して問う問題は少ない。しっかり原理を理解していれば、解けるはず

(3)☞典型的な面積を求める問題。

解答・解説