数列 和の問題 定期テスト対策

広告

問題

 和$S=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+99^2-100^2$を求めよ.

【東京電機大学 2020】

解答

 $(n)^2-(n+1)^2$となっているのを見たらどう変形したくなるだろうか?私は因数分解したい!笑

$S=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+(99^2-100^2)$

 $=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\cdots+(99-100)(99+100)$

 $=-(1+2+3+4+\cdots+99+100)$

 $=-\displaystyle\frac{1}{2}・100・101$

 $=-5050$

問題2

 和$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}$を求めよ.

解答2

 部分分数分解を行えば答えまでもうすぐだ!

 $\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}$であるから,

  $\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1})$

        $=(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2})+(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3})+(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4})+\cdots+(\displaystyle\frac{1}{100}-\displaystyle\frac{1}{101}))$

        $=1-\displaystyle\frac{1}{101}$

        $=\displaystyle\frac{100}{101}$

コメント

タイトルとURLをコピーしました