問題
和$S=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+99^2-100^2$を求めよ.
【東京電機大学 2020】
解答
$(n)^2-(n+1)^2$となっているのを見たらどう変形したくなるだろうか?私は因数分解したい!笑
$S=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+(99^2-100^2)$
$=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\cdots+(99-100)(99+100)$
$=-(1+2+3+4+\cdots+99+100)$
$=-\displaystyle\frac{1}{2}・100・101$
$=-5050$
問題2
和$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}$を求めよ.
解答2
部分分数分解を行えば答えまでもうすぐだ!
$\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}$であるから,
$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1})$
$=(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2})+(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3})+(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4})+\cdots+(\displaystyle\frac{1}{100}-\displaystyle\frac{1}{101}))$
$=1-\displaystyle\frac{1}{101}$
$=\displaystyle\frac{100}{101}$
コメント