数列　和の問題　定期テスト対策

問題

　和$S=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+99^2-100^2$を求めよ．

【東京電機大学　2020】

解答

　$(n)^2-(n+1)^2$となっているのを見たらどう変形したくなるだろうか？私は因数分解したい！笑

$S=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+(99^2-100^2)$

　$=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+\cdots+(99-100)(99+100)$

　$=-(1+2+3+4+\cdots+99+100)$

　$=-\displaystyle\frac{1}{2}・100・101$

　$=-5050$

問題2

　和$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}$を求めよ．

解答2

　部分分数分解を行えば答えまでもうすぐだ！

　$\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}=\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1}$であるから，

　　$\displaystyle\sum_{k=1}^{100}\displaystyle\frac{1}{k^2+k}=\displaystyle\sum_{k=1}^{100}(\displaystyle\frac{1}{k}-\displaystyle\frac{1}{k+1})$

　　　　　　　　$=(\displaystyle\frac{1}{1}-\displaystyle\frac{1}{2})+(\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{3})+(\displaystyle\frac{1}{3}-\displaystyle\frac{1}{4})+\cdots+(\displaystyle\frac{1}{100}-\displaystyle\frac{1}{101}))$

　　　　　　　　$=1-\displaystyle\frac{1}{101}$

　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{100}{101}$