漸化式とは
ざっくりいうと、ある項とある項の関係を表したものです．よく出題される、第$n$項と第$(n+1)$項の関係を表したものを、隣接2項間の漸化式です．そのため、第$n$項と第$(n-2)項との関係を表したものも漸化式と呼びます．入試に必要な漸化式を紹介していきます．
問題1
$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+3^n$ $(n=1, 2, 3, \cdots)で定められる数列$\{a_n\}$において，一般項を求めよ．
【東北芸工大学 一部抜粋 2020】
解答１
$a_{n+1}-a_n=3^n$より，数列$\{a_n\}$は階差数列であることが分かる．よって，$n≧2$のとき，
$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}3^k$
$=1+3・\displaystyle\frac{3^{n-1}-1}{3-1}$
$=1+\displaystyle\frac{3^n-3}{2}$
$=\displaystyle\frac{3^n-1}{2} (n≧2) \cdots➀$
$n=1$のときも➀は成り立つ．よって，
$a_n=\displaystyle\frac{3^n-1}{2}$ (答)
問題2
数列$\{a_n\}$があり，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+2 (n=1, 2, 3, \cdots)$である．このとき，数列$\{a_n\}$の一般項$\{a_n\}$を求めよ．
【同志社女子大学 2020】
解答2
$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+2 \cdots➀$
*ここからの部分は実際の解答では書かないように
➀に対して，$\alpha=2\alpha+2 $を考えると，$\alpha=-2$となる．
ここまでは書かない
➀は
$a_{n+1}+2=2(a_n+2)$
と変形できる．ここで，数列$\{a_n+2\}$は初項$a_1+2=3$，公比2の等比数列であるから，
$a_n+2=3・2^{n-1}$
$a_n=3・2^{n-1}-2$ （答)
漸化式パターンは此方からご確認ください！
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