数列の和

数列の和

　数列の和といえば，部分分数分解を思い浮かべる人が多いと思います．甘いです．もう１パターンあります．

問題

　$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+2}}$を求めよ．

解答

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+3}+\sqrt{k+2}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2}}{(\sqrt{k+3}+\sqrt{k+2})(\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2})}$

　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\displaystyle\frac{\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2}}{(k+3)-(k+2)}$

　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+3}-\sqrt{k+2})$

　　　　　　　　　　　　$=\sqrt{n+3}-\sqrt{3}$　（答）