式の値

導入

　数学のテストで点数を取るためには最低限の計算力が必要になる。しかし、計算力任せに問題を解き進めようとすると、ドツボにはまることがある．そうならないために，最低限，計算を楽にする術を身に着けよう！！

問題

　$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき，$\dfrac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ．

【福島大学　2013】

解答

　$x=\dfrac{x^{10}-1}{x^5}=x^5-\dfrac{1}{x^5}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3-\dfrac{1}{x^3})-(x-\dfrac{1}{x})$

　$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$から，

$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{3+\sqrt{13}}=\dfrac{2(\sqrt{13}-3}{(\sqrt{13}+3)(\sqrt{13}-3)}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$

ゆえに

$x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}-\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}=3$

よって，

$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=3^2+2=11$

$x^3-\dfrac{1}{x^3}=(x-\dfrac{1}{x})(x^2+1+\dfrac{1}{x^2})=3\cdot(11+1)=36$

したがって

$\dfrac{x^{10}-1}{x^5}=11\cdot36-3=393$

その他

$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$

$2x=3+\sqrt{13}$

$2x-3=\sqrt{13}$

両辺を2乗すると，

$4x^2-12x+9=13$

$4x^2-12x-4=0$

この方程式は$x=0$で成立しないので，両辺を$x(x≠0)$で割ると，

$4x-12-\dfrac{4}{x}=0$

$x-\dfrac{1}{x}=3$

と変形することもできる．式をいじいじして遊んでみてほしい．