導入
数学のテストで点数を取るためには最低限の計算力が必要になる。しかし、計算力任せに問題を解き進めようとすると、ドツボにはまることがある.そうならないために,最低限,計算を楽にする術を身に着けよう!!
問題
$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$のとき,$\dfrac{x^{10}-1}{x^5}$の値を計算せよ.
【福島大学 2013】
解答
$x=\dfrac{x^{10}-1}{x^5}=x^5-\dfrac{1}{x^5}=(x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3-\dfrac{1}{x^3})-(x-\dfrac{1}{x})$
$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$から,
$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{3+\sqrt{13}}=\dfrac{2(\sqrt{13}-3}{(\sqrt{13}+3)(\sqrt{13}-3)}=\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}$
ゆえに
$x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}-\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}=3$
よって,
$x^2+\dfrac{1}{x^2}=(x-\dfrac{1}{x})^2+2=3^2+2=11$
$x^3-\dfrac{1}{x^3}=(x-\dfrac{1}{x})(x^2+1+\dfrac{1}{x^2})=3\cdot(11+1)=36$
したがって
$\dfrac{x^{10}-1}{x^5}=11\cdot36-3=393$
その他
$x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}$
$2x=3+\sqrt{13}$
$2x-3=\sqrt{13}$
両辺を2乗すると,
$4x^2-12x+9=13$
$4x^2-12x-4=0$
この方程式は$x=0$で成立しないので,両辺を$x(x≠0)$で割ると,
$4x-12-\dfrac{4}{x}=0$
$x-\dfrac{1}{x}=3$
と変形することもできる.式をいじいじして遊んでみてほしい.
コメント