方程式・不等式の整数解の個数

問題

　$a$，$b$，$c$を整数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a+b+c=10$，$a≧1$，$b≧1$，$c≧1$を満たす整数$a$，$b$，$c$の組の総数を求めよ．

(2)　$a+b+c≦10$，$a≧1$，$b≧1$，$c≧1$を満たす整数$a$，$b$，$c$の組の総数を求めよ．

(3)　$a+b+c≦10$，$7≧a≧1$，$7≧b≧1$，$7≧c≧1$を満たす整数$a$，$b$，$c$の組の総数を求めよ．

【東京理科大学　2012】

解答

(1)　$a-1=A$，$b-1=B$，$c-1=C$とおくと

$A≧0， B≧0， C≧0$

　このとき，$a+b+c=10$より

$(A+1)+(B+1)+(C+1)=10$

　よって

$A+B+C=7，A≧0，B≧0，C≧0$

　これを満たす整数$A，B，C$の組の総数は，異なる3種類のものから，重複を許して7個取る組合せの総数に等しいから，

$_3H_7=_{3+7-1}C_7=_9C_7=_9C_2=36$

(2)　$a-1=A，b-1=B，c-1=C$とおき，(1)と同様に考えると，$a+b+c≦10, a≧1, b≧1, c≧1$から

$A+B+C≦k, A≧0， B≧0， C≧0$

　すなわち

$A+B+C=k　(k=0, 1, 2, \cdots, 7)$

$A≧0, B≧0, C≧0$

　各$k$の値について，$A+B+C=k, A≧0, B≧0, C≧0$を満たす整数$A, B, C$の組の総数は

$_3H_k=_{3+k-1}C_k=_{k+2}C_k=_{k+2}C_2=\dfrac{(k+2)(k+1)}{2}$

　よって，求める整数の組の総数は

　$\displaystyle\sum_{k=0}^{7}\dfrac{(k+2)(k+1)}{2}$

$=\dfrac{1}{2}(2\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot4+6\cdot5+7\cdot6+8\cdot7+9\cdot8)$

$=\dfrac{1}{2}(2+6+12+20+30+42+56+72)$

$=\dfrac{1}{2}×240$

$=120$

（*Σを展開してもよいが，$k=0$というところに気を付けてください）

(3)　(2)の120組のうち，条件を満たさないものは次の3通りである．

$(a, b, c)=(8, 1, 1), (1, 8, 1), (1, 1, 8)$

　よって，求める整数の組の総数は

$120-3=117$

類似問題

(1)の類題として考えられるのは以下がある．

　3人で10個のりんごを分ける．少なくとも1人に1個ずつりんごを分ける分け方は何通りあるか．

上の問題と(1)の問題の解き方は完全に一緒になる．場合の数・確率を解くためには、知っているどの問題に分類できるかと判別できる能力も必要になるのではないかと思う（特に、問題数を解く時間がない現役生）