区分求積法の公式は・・
➀$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}f(\displaystyle\frac{k}{n})=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\{f(\displaystyle\frac{1}{n})+f(\displaystyle\frac{2}{n})+\cdots+f(\displaystyle\frac{n}{n})\}$
$=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx$
➁$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}f(\displaystyle\frac{k}{n})=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\{f(0)+f(\displaystyle\frac{1}{n})+\cdots+f(\displaystyle\frac{n-1}{n})\}$
$=\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx$
区分求積のイメージ
公式➀、➁はともに
・関数$f(x)$の積分区間0→1を$n$等分した長方形の面積和である
・長方形の面積は(縦)×(横)となるので、$f(\displaystyle\frac{k}{n})×\displaystyle\frac{1}{n}$というものを足し合わせる
【グラフイメージ】
➀

➁

➀,➁ともにグラフの面積からかけ離れているが,$n$等分している$n$の値がかなり大きくなる($\infty$に近づく)と誤差がなくなる(とみなすことができる)ため,積分しているのと同値とみなすことができる!というものである.
式処理の仕方
積分区間は0→1だけだとお思いですか?そんなことはありません。ただしこれさえ覚えておけば式処理ができてしまいます。
結論はこれです。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=△}^{●}f(\displaystyle\frac{k}{n})=\displaystyle\int_{△のnの係数}^{●のnの係数}f(x)dx$
(例1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}f(\displaystyle\frac{k}{n})=\displaystyle\int_{1}^{2}f(x)dx$
(例2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty}\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=0}^{3n-1}f(\displaystyle\frac{k}{n})=\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)dx$
どうですか?少しでもイメージをつかむことができましたか?
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