区別がつくものを　区別がつく組・つかない組に分ける

問題

　9人を3つの組に分ける．

(1)　3人ずつ3つの組A，B，Cに分ける場合，分け方は何通りか．

(2)　3人ずつ3つの組に分ける場合，分け方は何通りか．

(3)　2人，3人，4人の3つの組に分ける場合，分け方は何通りか．

(4)　2人，2人，5人の3つの組に分ける場合，分け方は何通りか．

【愛知学院大学　2020】

解答

(1)　A組の3人の選び方は$_9C_3$通り，残り6人のうちB組の3人の選び方は$_6C_3$通り，C組の選び方は$_3C_3$通りであるから，

$_9C_3×_6C_3×_3C_3=\dfrac{9\cdot8\cdot7}{1\cdot2\cdot3}×\dfrac{6\cdot5\cdot4}{1\cdot2\cdot3}=1680$通り

(2)　(1)の3組で，A，B，Cという区別をなくせばよいので，

$\dfrac{1680}{3!}=\dfrac{1680}{6}=280$通り

(3)　9人から2人の選び方は$_9C_4$通り，残った7人から3人の選び方は$_7C_2$通り，さらに残った5人から2人の選び方は$_2C_2$通りとなるので，

$_9C_2×_7C_2×_5C_2=\dfrac{9\cdot8}{1\cdot2}×\dfrac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=1260$通り

(4)　9人から2人の選び方は$_9C_2$通り，残った7人から2人の選び方は$_7C_2$通り，さらに残った5人から5人の選び方は$_5C_5$通りとなる．ただし，2つの2人の組は区別がつかないので，

$\dfrac{_9C_2×_7C_2×_5C_2}{2!}=\dfrac{9\cdot8}{1\cdot2}×\dfrac{7\cdot6}{2\cdot1}×\dfrac{1}{2!}=378$通り

補足

　チーム名がつけられる（A，B，C）場合と，チーム名がついていないが人数が異なるチームの場合は区別できるとみなす．ただし，今回の(2)、(4)のようにチーム名がついておらず、人数が同じチームが複数存在する場合，存在するチーム数の階乗で割ることを忘れないように！！

(8人を、2人、2人、2人、2人で分ける→$4!$で割る)