積分計算

問題

　$\displaystyle\int_{0}^{{2\sqrt{3}}}\displaystyle\frac{dx}{4+x^2}$を計算せよ．

【福岡大学　2020】

解答

　$x=2\tan\theta$とする．

　$dx=\displaystyle\frac{2}{\cos^2\theta}d\theta$

・積分区間について

　$x：0→2\sqrt{3}$のとき，$\theta：0→\displaystyle\frac{\pi}{3}$となる．

　$\displaystyle\int_{0}^{{2\sqrt{3}}}\displaystyle\frac{dx}{4+x^2}=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{1}{4(1+\tan^2\theta)}\cdot\displaystyle\frac{2}{\cos^2\theta}d\theta$

　　　　　　　　$=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\displaystyle\frac{1}{2}d\theta$

　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{\pi}{6}$　（答)