極限計算　定期テスト・私立小問【成蹊大学 2020】

進め方

　基本的には不定形を解消する形ですすめていきたい．

不定形とは $\displaystyle\frac{0}{0}$，$\displaystyle\frac{\infty}{\infty}$，$\infty-\infty$，$\infty×0$のことである．

値が収束する➣不定形を解消できる

ということを意識して取り組んでもらいたい．関西大学の小問集合ではちらほら見かけるので落とさないでもらいたい．

問題

　$a$，$b$を実数の定数とする． $\displaystyle\lim_{x \to \infty}{(\sqrt{x^2+4x}+ax+b)}=6$であるとき，の$a$，$b$を求めよ．

解答

　　$f(x)=\sqrt{x^2+4x}+ax+b (x>0)$とする．

　$a≧0$のとき，$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=\infty$であるから，

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=6\cdots➀$となるためには，$a<0$となる必要がある．

　$a<0$のとき，

$f(x)=\displaystyle\frac{(x^2+4x)-(ax)^2}{\sqrt{x^2+4x}-ax}+b=\displaystyle\frac{(1-a^2)x+4}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}-a}}+b$

であり，$1-a^2≠0$とすると，$\displaystyle\lim_{x \to \infty}f(x)=±\infty$となるから，$➀$が成り立つための必要条件は

$a<0$かつ$1-a^2=0$

となる．よって，$a=-1$が必要条件となる．$a=-1$のとき，

$f(x)=\displaystyle\frac{4}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+b}

となる．$➀$が成り立つための必要十分条件は，

$a=-1$かつ$2+b=6$．すなわち，$a=-1$かつ$b=4$

解説

　√を見ると，有利化したくなる人がいるが一旦手をとめて考えてほしい．なぜ有利化するのか？それは，不定形だからである．不定形であるから，不定形を解消するために有利化が存在するのである．そのことを忘れないでもらいたい．なんでもかんでも変形することをしようとすると，簡単な問題であっても勝手に迷宮入りしてしまう原因となる．社会人におけるPDCAサイクルのなかでもP(Plan)が一番大事といわれているので，しっかり計画を立てよう．