二項定理

問題

　$(2x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{)}^6$の展開式における定数項はいくつか．

【東京経済大学　2020】

解答

　二項定理により

$(2x+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}{)}^6={\displaystyle \sum _{k=0}^6{}_6{\mathrm{C}}_k(2x{)}^k({\displaystyle \frac{1}{x^2}}{)}^{6-k}}$

　ここで，${}_6{\mathrm{C}}_k(2x{)}^k({\displaystyle \frac{1}{x^2}}{)}^{6-k}={}_6{\mathrm{C}}_k{2}^k{x}^{3k-12}\cdots ➀$

　これが定数となるのは，

$3k-12=0 \therefore k=4$

　このとき，定数項は

${}_6{\mathrm{C}}_4\cdot 2^4={}_6{\mathrm{C}}_2\cdot 2^4=15\cdot 16=240$