定点の座標

導入

　定数の値に関わらず通る点は式を扱う上で非常に重要なテーマである．これを解かずして座標を語ることはできない．

問題

　$xy$平面上の直線$(k+3)x-(k+4)y=2k+4$は定数$k$の値に関係なくある定点を通る．その定点の座標はどこか．

解答

　$(k+3)x-(k+4)y=2k+4$を$k$について整理すると，

$(x-y-2)k+3x-4y-4=0$

　これが$k$についての恒等式となるとき，

$x-y-2=0 \cdots➀$

$3x-4y-4=0 \cdots➁$

　$➀×4-➁$により　$x=4, y=2$となる．$(x, y)=(4, 2)$