整数問題

問題

　$\sqrt{\displaystyle\frac{588}{n}}$が自然数となるような自然数$n$は(ア)個あり，そのうち最小の自然数$n$は(イ)である．

【成蹊大学　2020】

解答

　$\sqrt{\displaystyle\frac{588}{n}}$が自然数となるのは，$\displaystyle\frac{588}{n}$が平方数になるときである．$588=2^2\cdot3\cdot7^2$であるから，

$\displaystyle\frac{588}{n}=\displaystyle\frac{2^2\cdot3\cdot7^2}{n}$

　これが平方数となる$n$は$n=2^a\cdot3\cdot7^b$の形で，$a$は0, 2の2通り，$b$は0, 2の2通りとなるので，$n$は$2×2=（ア）4$個となる．最小の$n$は$（イ）3$である．