整数問題

問題

　$\sqrt{{\displaystyle \frac{588}{n}}}$が自然数となるような自然数$n$は(ア)個あり，そのうち最小の自然数$n$は(イ)である．

【成蹊大学　2020】

解答

　$\sqrt{{\displaystyle \frac{588}{n}}}$が自然数となるのは，${\displaystyle \frac{588}{n}}$が平方数になるときである．$588=2^2\cdot 3\cdot 7^2$であるから，

${\displaystyle \frac{588}{n}={\displaystyle \frac{2^2\cdot 3\cdot 7^2}{n}}}$

　これが平方数となる$n$は$n=2^a\cdot 3\cdot 7^b$の形で，$a$は0, 2の2通り，$b$は0, 2の2通りとなるので，$n$は$2\times 2=（\mathrm{ア}）4$個となる．最小の$n$は$（\mathrm{イ}）3$である．