4次方程式の解

問題

　方程式$6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$の解$x$について，$x+\dfrac{1}{x}=t$とおくと$t$の正の値はいくつか．また，もとの方程式の解$x$の中で最も大きいものはいくつか．

【名城大学　2010】

解答

　 $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0 \cdots➀$とする．

➀に$x=0$を代入すると➀は成り立たない．

ゆえに，$x≠0$となる．（☜これは両辺を$x^2$で割るために必要な記述）

このことより，➀の両辺を$x^2(≠0)$で割ると，

$6x^2+5x-38+\dfrac{5}{x}+\dfrac{6}{x^2}=0$

　これを変形すると，

$6(x^2+\dfrac{1}{x^2})+5(x+\dfrac{1}{x})-38=0$

$6\{(x+\dfrac{1}{x})^2-2\}+5(x+\dfrac{1}{x})-38=0$

　文字を置き換えると

$6(t^2-2)+5t-38=0$

　整理すると

$(2t-5)(3t+10)=0$

　これを解くと

$t=\dfrac{5}{2}, -\dfrac{10}{3}$

[1] $t=\dfrac{5}{2}$のとき

　$x+\dfrac{1}{x}=\dfrac{5}{2}$から，変形すると

$2x^2-5x+2=0$

よって，

$(x-2)(2x-1)=0$

$x=2, \dfrac{1}{2}$

[2] $t=-\dfrac{10}{3}$のとき

　$x+\dfrac{1}{x}=-\dfrac{10}{3}$から，変形すると

$3x^2+10x+3=0$

よって，

$(x+3)(3x+1)=0$

$x=-3, -\dfrac{1}{3}$

[1]，[2]より最も大きい解は　$2$