ベクトル攻略　【空間】

　前回までのお話はこちら

ベクトル攻略　導入編

　みなさん，ベクトルは得意でしょうか？学生時代の私は『ベクトル記号を見ると吐き気がする』というぐらい苦手でした。ただ，数学講師を続けていく上で、『これなら、誰でも機械的に問題に取り組めるのでは？』となる方法がありました。正直、ベクトルの分...

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2021.05.04

ベクトル攻略　【公式】【例題】【平面編】

　前回のお話はこちらから　さて，イメージのお話は終わったので，ここでは重要な公式を2つ紹介したいと思います．平面の位置ベクトルの問題に対しては，これらの公式があれば解けます。（*内分公式などを知っていれば計算が楽になり...

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2021.05.05

共面条件

　4点が同一平面上に存在するとき，点の位置を1次独立なベクトル2つで表すことができる．$s$，$t$をそれぞれ実数とすると，

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

と表すことができる．始点変換を行うと，

$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=s(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})+t(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA})$

⇔ $\overrightarrow{OP}=(1-s-t)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$

　共線条件は，主に空間の位置ベクトルの問題で，同一平面に4点が存在する→立式する→共線条件ででた式と連立する　という流れで解き進めるのに必要となる．　

【おまけ】

点Pが平面ABC上にあるとき，$s$，$t$の値に関係なく$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$の係数和は1になる．

　これを証明に利用することがあるので覚えておこう．点Pが$\overrightarrow{OP}=p\overrightarrow{OA}+q\overrightarrow{OB}+r\overrightarrow{OC}$と表されている場合，$p+q+r=1$ならば，点Pは平面ABC上に存在するといえる．

例題

　四面体OABCの辺OAを$1:1$に内分する点をD，辺OBを$2:1$に内分する点をE，辺OCを$1:2$に内分する点をF，辺ABを$1:2$に内分する点をPとする．また，線分CPを$t:(1-t)$に内分する点をQとし，平面DEFと線分OQとの交点をRとする．ただし，$0<t<1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{OQ}$を$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$および$t$を用いて表せ．

(2)　点Rが線分OQを$2:3$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

【日本女大　2020】

解き方

➀図を描く

➁点に関する情報を探し立式する（共線条件、共面条件）

➂点に関しての式を基準ベクトルだけの式で表す．

④連立方程式を解く．

解答

（前段階として共線条件を用いて以下情報を集める）

$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{OB}={\displaystyle \frac{3}{2}\overrightarrow{OE}}$

$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OF}$

（１）　3点C，P，Qは同一直線上に存在するので，

$\overrightarrow{CQ}=t\overrightarrow{CP}$

⇔$\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}=t(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC})$

⇔$\overrightarrow{OQ}=t\overrightarrow{OP}+(1-t)\overrightarrow{OC}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➀$

　・$\overrightarrow{OP}$に関して．

　　3点A，B，Pは同一直線上に存在するので，

$\overrightarrow{AP}={\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}}$

$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}={\displaystyle \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})}$

$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{1}{3}\overrightarrow{OB}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➁}}$

　➀に➁を代入すると，

$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{2}{3}t\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{1}{3}t\overrightarrow{OB}+(1-t)\overrightarrow{OC}}}$　　（答）

（２）3点O，Q，Rは同一直線上に存在するので，

$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{2}{5}\overrightarrow{OQ}}$

⇔$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{2}{5}({\displaystyle \frac{2}{3}t\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{1}{3}t\overrightarrow{OB}+(1-t)\overrightarrow{OC})}}}$

⇔$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{4}{15}t\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{2}{15}t\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{2}{5}(1-t)\overrightarrow{OC}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}➂}}}$

　また，4点D，E，F，Rは同一平面上に存在するので，実数$l$，$m$を用いて，

$\overrightarrow{DR}=l\overrightarrow{DE}+m\overrightarrow{DF}$

⇔$\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OD}=l(\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OD})+m(\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OD}$

⇔$\overrightarrow{OR}=(1-l-m)\overrightarrow{OD}+l\overrightarrow{OE}+m\overrightarrow{OF}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{・}\mathrm{④}$

➂④を連立させると，$t={\displaystyle \frac{3}{7}}$ (答）