4次方程式の解

問題

　方程式$6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$の解$x$について，$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=t$とおくと$t$の正の値はいくつか．また，もとの方程式の解$x$の中で最も大きいものはいくつか．

【名城大学　2010】

解答

　 $6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0\cdots ➀$とする．

➀に$x=0$を代入すると➀は成り立たない．

ゆえに，$x\ne 0$となる．（☜これは両辺を$x^2$で割るために必要な記述）

このことより，➀の両辺を$x^2(\ne 0)$で割ると，

$6x^2+5x-38+{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{6}{x^2}}=0$

　これを変形すると，

$6(x^2+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})+5(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})-38=0$

$6\{(x+{\displaystyle \frac{1}{x}}{)}^2-2\}+5(x+{\displaystyle \frac{1}{x}})-38=0$

　文字を置き換えると

$6(t^2-2)+5t-38=0$

　整理すると

$(2t-5)(3t+10)=0$

　これを解くと

$t={\displaystyle \frac{5}{2}},-{\displaystyle \frac{10}{3}}$

[1] $t={\displaystyle \frac{5}{2}}$のとき

　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$から，変形すると

$2x^2-5x+2=0$

よって，

$(x-2)(2x-1)=0$

$x=2,{\displaystyle \frac{1}{2}}$

[2] $t=-{\displaystyle \frac{10}{3}}$のとき

　$x+{\displaystyle \frac{1}{x}}=-{\displaystyle \frac{10}{3}}$から，変形すると

$3x^2+10x+3=0$

よって，

$(x+3)(3x+1)=0$

$x=-3,-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

[1]，[2]より最も大きい解は　$2$