不等式の証明

問題

　関数$f(x)=\sin x+\tan x-2x$の導関数を求めよ．$0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2}$において$f(x)>0$となることを示せ．

【弘前大学　2018】

解答

$f'(x)=\cos x+\displaystyle\frac{1}{\cos x}-2$

　　　$=\displaystyle\frac{\cos^3x-2\cos^2x+1}{\cos^2x}$

　　　$=\displaystyle\frac{(\cos x-1)(\cos^2x-\cos x-1)}{\cos^2x}$

　　　$=\displaystyle\frac{(1-\cos x)(\sin^2x+\cos x)}{\cos^2x}>0　(∵0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2})$

　よって，関数$f(x)$は$0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2})$で単調増加な関数なので，

　　　　　　　$f(x)>f(0)=0+0-2\cdot0=0$

　となる．よって，$0<x<\displaystyle\frac{\pi}{2})$において，$f(x)>0$となることが示せた．