三角関数を含む関数の最大・最小

はじめに

　何度も申し上げておりますが、入試において関数は得点源にしやすいジャンルです。そのため、しっかり見ていきましょう。

問題

　$a$を実数とし，関数$f(x)$を$f(x)=a(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x$によって定義する。ただし，$x$は実数全体を動くとする。

(1)　$t=\sin x+\cos x$のとりうる値の範囲を求めよ。

(2)　$f(x)$の最大値が3となるときの$a$の値を求めよ。

【北海道大学　2006】

解答

(1)　$t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$

　$x$はすべての実数をとるから

$-1\leqq \sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\leqq 1$

　よって，

$-\sqrt{2}\leqq \sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\leqq \sqrt{2}$

　ゆえに

$-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$

(2)　$t^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x$

　すなわち

　　$t^2=1+2\sin x\cos x$であるから

　$\sin x\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}(t^2-1)$

　よって

　　　$f(x)=at-{\displaystyle \frac{1}{2}}(t^2-1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(t-a{)}^2+{\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}$

　　　$g(t)=f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}(t-a{)}^2+{\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}$　($-\sqrt{2}\leqq t\leqq \sqrt{2}$)とおく．

[i] $a<-\sqrt{2}$ のとき，$g(t)$は$t=-\sqrt{2}$で最大となる．

　　　$g(-\sqrt{2})=3$ から　

　　　　　　　　　$-\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{1}{2}}=3$

　よって，$a=-{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$ ($a<-\sqrt{2}$を満たす)

[ii]　$-\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{2}$のとき，$g(t)$は$t=a$で最大となる．

　　　$g(a)=3$から

　　　　　　　　　${\displaystyle \frac{a^2+1}{2}}=3$

　よって，$a=\pm \sqrt{5}$ ($-\sqrt{2}\leqq a\leqq \sqrt{2}$を満たさず不適）

[iii]　$\sqrt{2}<a$のとき，$g(t)$は$t=\sqrt{2}$で最大となる．

　　　$g(\sqrt{2})=$3から

　　　　　　　　　$\sqrt{2}a-{\displaystyle \frac{1}{2}}=3$

　よって， $a={\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$ ($\sqrt{2}<a$ を満たす)

[i]～[iii]より，求める$a$の値は

$a=\pm {\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{4}}$