2次関数　共有点をもつ条件　近畿大学

問題

　2つの放物線$y=x^2+ax+2$，$y=-x^2-\dfrac{a}{2} x+\dfrac{a^2}{2}$のグラフが異なる2点で交わり，一方のみが$x$軸と共有点をもつための必要十分条件は　$\boxed{　　　}<\vert a \vert< \boxed{　　　} $

【近畿大学　2012】

解答

　　　　　　　　$y=x^2+ax+2　\cdots➀$

　　　　　　　　$y=-x^2-\dfrac{a}{2}x+\dfrac{a^2}{2}　\cdots➁$

　➁を➀に代入すると

$x^2+ax+2=-x^2-\dfrac{a}{2}x+\dfrac{a^2}{2}$

　整理すると

$4x^2+3ax-a^2+4=0$

　この方程式の判別式を$D$とすると，放物線➀と➁が異なる2点で交わるための条件は　$D>0$

　$D=(3a)^2-4\cdot4\cdot(-a^2+4)=25a^2-64$であるから，$D>0$より

　$25a^2-64>0$

　よって

$a^2>\dfrac{64}{25}$

　すなわち

$\vert a \vert>\dfrac{8}{5} \cdots➂$

　また，$x^2+ax+2=0$，$-x^2-\dfrac{a}{2}x+\dfrac{a^2}{2}=0$の判別式をそれぞれ$D_1$，$D_2$とすると

　　$D_1=a^2-4\cdot1\cdot2=a^2-8$

　　$D_2=(\dfrac{a}{2})^2-4\cdot(-1)\cdot\dfrac{a^2}{2}=\dfrac{9}{4}a^2$

　➂のとき，$a \neq 0$であるから　$D_2>0$

　したがって，放物線➁は$x$軸と異なる2点で交わる。

　よって，放物線➀が$x$軸と共有点をもたないとき，条件を満たす．

　放物線➀が$x$軸と共有点をもたないための条件は　$D_1<0$

　よって

$a^2-8<0$

　ゆえに

$\vert a \vert<2\sqrt{2} \cdots④$

　➂，④から求める$\vert a \vert$の値の範囲は

$\dfrac{8}{5}<\vert a \vert<2\sqrt{2}$