2次関数　共有点をもつ条件　近畿大学

問題

　2つの放物線$y=x^2+ax+2$，$y=-x^2-{\displaystyle \frac{a}{2}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$のグラフが異なる2点で交わり，一方のみが$x$軸と共有点をもつための必要十分条件は　$\boxed{{\displaystyle }}<|a|<\boxed{{\displaystyle }}$

【近畿大学　2012】

解答

　　　　　　　　$y=x^2+ax+2 \cdots ➀$

　　　　　　　　$y=-x^2-{\displaystyle \frac{a}{2}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{2}} \cdots ➁$

　➁を➀に代入すると

$x^2+ax+2=-x^2-{\displaystyle \frac{a}{2}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$

　整理すると

$4x^2+3ax-a^2+4=0$

　この方程式の判別式を$D$とすると，放物線➀と➁が異なる2点で交わるための条件は　$D>0$

　$D=(3a{)}^2-4\cdot 4\cdot (-a^2+4)=25a^2-64$であるから，$D>0$より

　$25a^2-64>0$

　よって

$a^2>{\displaystyle \frac{64}{25}}$

　すなわち

$|a|>{\displaystyle \frac{8}{5}}\cdots ➂$

　また，$x^2+ax+2=0$，$-x^2-{\displaystyle \frac{a}{2}}x+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}=0$の判別式をそれぞれ$D_1$，$D_2$とすると

　　$D_1=a^2-4\cdot 1\cdot 2=a^2-8$

　　$D_2=({\displaystyle \frac{a}{2}}{)}^2-4\cdot (-1)\cdot {\displaystyle \frac{a^2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{4}}{a}^2$

　➂のとき，$a\ne 0$であるから　$D_2>0$

　したがって，放物線➁は$x$軸と異なる2点で交わる。

　よって，放物線➀が$x$軸と共有点をもたないとき，条件を満たす．

　放物線➀が$x$軸と共有点をもたないための条件は　$D_1<0$

　よって

$a^2-8<0$

　ゆえに

$|a|<2\sqrt{2}\cdots \mathrm{④}$

　➂，④から求める$|a|$の値の範囲は

${\displaystyle \frac{8}{5}}<|a|<2\sqrt{2}$