導入
今まで極限の計算練習をしてきたので，実際の問題に取り組んでみよう．ガッツリ入試問題なので，前問の繋がりというところも意識するようにしてもらいたい．
問題
解答は三角関数を用いずに表せ．
(1) $\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}$の値を求めよ．
(2) $\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}$の値を求めよ．
(3) 数列$\{a_n\}$を
$a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ $(n=1, 2, 3, \cdots）$
で定める．
例えば，
$a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$
$a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$
$a_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$
となる．
このとき，$\displaystyle\lim_{x \to \infty}2^n\sqrt{2-a_n}$を求めよ．
解答
(1) $\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}>0$より，
$\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}=\sqrt{\cos^2\displaystyle\frac{\pi}{8}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4})}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2})}=\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$（答）
(2) $\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}>0$より，
$\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}=\sqrt{\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{16}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1-\cos\displaystyle\frac{\pi}{8})}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1-\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})}$
$=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$（答）
(3) $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\cdots➀$
ある$n$に対して$0<a_n<2$と仮定すると，➀より$0<a_{n+1}<2$となるから，$a_1=\sqrt{2}$より，$0<a_1<2$であることも考えると，帰納的にすべての$n$に対して，$0<a_n<2$といえる．
このことにより，$a_n=2\cos\theta_n\cdots➁$ $(0<\theta_n<\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdots➂)$とおけて，このとき➀，➁，➂より，
$a_{n+1}=\sqrt{2(1+\cos\theta_n)}=\sqrt{2^2\cos^2\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}=2\cos\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$
となるから，
$2\cos\theta_{n+1}=2cos\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$ $∴\theta_{n+1}=\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$ $(∵➂)$
よって，$\{\theta_n\}$は公比$\displaystyle\frac{1}{2}$の等比数列であるから，$a_1=\sqrt{2}$と➂より，
$2\cos\theta_1=\sqrt{2}$ $∴\theta_1=\displaystyle\frac{\pi}{4}$
であることも用いると，
$\theta_n=\theta_1(\displaystyle\frac{1}{2})^{n-1}=\displaystyle\frac{\pi}{2^{n+1}}$
となる．したがって，➂を用いると，
$2^n\sqrt{2-a_n}=\displaystyle\frac{\pi}{2\theta_n}\sqrt{2(1-\cos\theta_n)}=\displaystyle\frac{\pi}{2\theta_n}\sqrt{2^2\sin\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}・\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}{\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}$
となる．$n→\infty$のとき，$\theta_n→0$であるから，
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}2^n\sqrt{2-a_n}=\displaystyle\frac{\pi}{2}・1=\displaystyle\frac{\pi}{2}$（答）
コメント