整式が素数になる条件

問題

　$n^2-22n+85$の値が素数となる整数$n$は$(ア)$と$(イ)$である．

【京都医療科学大学　2020】

解答

　$n^2-22n+85$が素数のとき，$n-5=±1$または$n-17=±1$でなければならない．

(i)　$n-5=1$のとき，$n=6$で

　　$n^2-22n+85=6^2-22\cdot6+85=-11$

　となり，不適．

(ii)　$n-5=-1$のとき，$n=4$で

　　$n^2-22n+85=4^2-22\cdot4+85=13$

　となり，適する．

(iii)　$n-17=1$のとき，$n=18$で

　　$n^2-22n+85=18^2-22\cdot18+85=13$

　となり，適する．

(iv)　$n-17=-1$のとき，$n=16$で

　　$n^2-22n+85=16^2-22\cdot16+85=-11$

　となり，不適．

　(i)～(iv)より求める$n$の値は$n=4, 18$