数列の極限　数学III　【明治大学　2020】

導入

　今まで極限の計算練習をしてきたので，実際の問題に取り組んでみよう．ガッツリ入試問題なので，前問の繋がりというところも意識するようにしてもらいたい．

問題

　解答は三角関数を用いずに表せ．

(1)　$\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}$の値を求めよ．

(2)　$\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}$の値を求めよ．

(3)　数列$\{a_n\}$を

$a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$　$(n=1, 2, 3, \cdots）$

で定める．

　例えば，

$a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$a_4=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

となる．

　このとき，$\displaystyle\lim_{x \to \infty}2^n\sqrt{2-a_n}$を求めよ．

解答

(1)　$\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}>0$より，

$\cos\displaystyle\frac{\pi}{8}=\sqrt{\cos^2\displaystyle\frac{\pi}{8}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1+\cos\displaystyle\frac{\pi}{4})}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1+\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2})}=\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$（答）

(2)　$\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}>0$より，

$\sin\displaystyle\frac{\pi}{16}=\sqrt{\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{16}}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1-\cos\displaystyle\frac{\pi}{8})}=\sqrt{\displaystyle\frac{1}{2}(1-\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2})}$

　　　$=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}$（答）

(3)　$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\cdots➀$

　ある$n$に対して$0<a_n<2$と仮定すると，➀より$0<a_{n+1}<2$となるから，$a_1=\sqrt{2}$より，$0<a_1<2$であることも考えると，帰納的にすべての$n$に対して，$0<a_n<2$といえる．

　このことにより，$a_n=2\cos\theta_n\cdots➁$ $(0<\theta_n<\displaystyle\frac{\pi}{2}\cdots➂)$とおけて，このとき➀，➁，➂より，

$a_{n+1}=\sqrt{2(1+\cos\theta_n)}=\sqrt{2^2\cos^2\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}=2\cos\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$

となるから，

$2\cos\theta_{n+1}=2cos\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$　$∴\theta_{n+1}=\displaystyle\frac{\theta_n}{2}$　$(∵➂)$

　よって，$\{\theta_n\}$は公比$\displaystyle\frac{1}{2}$の等比数列であるから，$a_1=\sqrt{2}$と➂より，

$2\cos\theta_1=\sqrt{2}$　$∴\theta_1=\displaystyle\frac{\pi}{4}$

であることも用いると，

$\theta_n=\theta_1(\displaystyle\frac{1}{2})^{n-1}=\displaystyle\frac{\pi}{2^{n+1}}$

となる．したがって，➂を用いると，

$2^n\sqrt{2-a_n}=\displaystyle\frac{\pi}{2\theta_n}\sqrt{2(1-\cos\theta_n)}=\displaystyle\frac{\pi}{2\theta_n}\sqrt{2^2\sin\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}=\displaystyle\frac{\pi}{2}・\displaystyle\frac{\sin\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}{\displaystyle\frac{\theta_n}{2}}$

となる．$n→\infty$のとき，$\theta_n→0$であるから，

$\displaystyle\lim_{x \to \infty}2^n\sqrt{2-a_n}=\displaystyle\frac{\pi}{2}・1=\displaystyle\frac{\pi}{2}$（答）