二項定理

問題

　$(2x+\dfrac{1}{x^2})^6$の展開式における定数項はいくつか．

【東京経済大学　2020】

解答

　二項定理により

$(2x+\dfrac{1}{x^2})^6=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}{}_6\mathrm{C}_k(2x)^k(\dfrac{1}{x^2})^{6-k}$

　ここで，${}_6\mathrm{C}_k(2x)^k(\dfrac{1}{x^2})^{6-k}={}_6\mathrm{C}_k2^kx^{3k-12}\cdots➀$

　これが定数となるのは，

$3k-12=0　∴k=4$

　このとき，定数項は

${}_6\mathrm{C}_4\cdot2^4={}_6\mathrm{C}_2\cdot2^4=15\cdot16=240$