漸化式パターン　【例題付】

➀ 等差型　$a_{n+1}=a_n+d$ ($a_{n+1}-a_n=d$) (*$d$は$n$に関係しない定数)

・【変形不要】

　公差$d$の等差数列であるので，等差数列の公式$a_n=a_1+(n-1)d$を用いて一般項を求める．

・【例題】

　 $a_1=2$，$a_{n+1}-a_n=3$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

・【解答】

　数列$\{a_n\}$は等差数列であるので，

$a_n=2+(n-1)\cdot 3$

$\therefore a_n=3n-1$

➁ 等比型 $a_{n+1}=r{a}_n$ (*$r$は$n$に関係しない定数)

・【変形不要】

　公比$r$の等比数列であるので，等比数列の公式$a_n=a_1{r}^{n-1}$を用いて一般項を求める．

・【例題】

　$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

・【解答】

　数列$\{a_n\}$は等比数列であるので，

$a_n=3\cdot 2^{n-1}$

➂ 階差数列型　$a_{n+1}-a_n=b_n$

・【変形不要】

　$\{b_n\}$を階差数列とする数列は

$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_k (n\geqq 2)}$

・【補足】

→$b_n$の整式内に$n$に関係する値が存在しない場合は➀の等差数列型に帰着する．（階差数列型で解いても答えはもちろん一致します）

・【注意点】

→記述でこの形に帰着した場合、$n\geqq 2$のときに用いることができるということを記述することを忘れないように！！！

・【例題】

　$a_1=1$，$a_{n+1}-a_n=n+1$を満たす数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

・【解答】

　数列$\{a_n\}$は階差数列$\{b_n\}$，$b_n=n+1$をもつ数列といえる．

　$n\geqq 2$のとき，

　　　　　$a_n=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}{b}_k}$

　　　　　　　$=a_1+{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}(k+1)}$

　　　　　　　$=1+(2+3+4+\cdots +n)$

　　　　　　　$={\displaystyle \frac{(1+n)\cdot n}{2}}$

　　　　　　　$={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$

　これは$n=1$のときも成り立つ．よって，自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$

④　特性方程式型 $a_{n+1}=p{a}_n+q$　($p\ne 0,1$, $q\ne 0$，$p，q$は$n$に関係のない定数）

・【変形必須】

　$a_{n+1}=a_n=\alpha$として，$\alpha =p\alpha +q$を満たす$\alpha$を求める．

　その後，$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$に変形する．

・【注意点】

→記述で記載する範囲に気を付ける

$\alpha =p\alpha +q$を満たす$\alpha$を求める．ということを記載しない．($a_{n+1}=a_n$となることが（ほとんど）ないため）

（*記述の時は変形すると，$a_{n+1}-\alpha =p(a_n-\alpha )$と記述する）

・【例題】$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2$を満たす$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

・【解答】記述範囲に気を付けること

$\alpha =3\alpha +2$

$-2\alpha =2$

$\alpha =-1$

（ここから記述する）式変形すると，$a_{n+1}+1=3(a_n+1)$となる．

　ここで，数列$\{a_n+1\}$が初項$a_1+1=2$，公比$3$の等比数列となる．

$a_n+1=2\cdot 3^{n-1}$

$a_n=2\cdot 3^{n-1}-1$