問題
$f(x)=\cos x+\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\{f(t)-2\sin x\}dt$のとき,$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx$の値を求めよ.
【中部大学 2020】
解答
$a=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(t)dt \cdots➀$とおくと,
$f(x)=\cos x-\pi\sin x+a$
これを➀に代入して.
$a=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos t-\pi\sin x+a)dt$
$=\displaystyle[\sin t+\pi\cos t+at\displaystyle]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$
$=1+\displaystyle\frac{\pi}{2}a-\pi$
よって,
$(\displaystyle\frac{\pi}{2}-1)a=\pi-1$
$a=\displaystyle\frac{2\pi-2}{\pi-2}$
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